Equazioni costitutive

Introducendo le grandezze permittività dielettrica $\varepsilon$ [F/m], permittività magnetica $\mu$ [H/m], conducibilità elettrica $\sigma$ [S/m], densità di carica elettrica $\rho\, [C/m^3]$ possiamo scrivere:

$$\mathbf{D}\left( t \right) = \varepsilon \mathbf{E}\left( t \righ... ... \right) \quad \mathbf{J}\left( t \right) = \sigma \mathbf{E}\left( t \right)$$

Dalla prima equazione costitutiva si può considerare anche un fenomeno di polarizzazione,

$$\mathbf{D}\left( t \right) = \varepsilon _0 \mathbf{E}\left( t \r... ...psilon _r \mathbf{E}\left( t \right) = \varepsilon \mathbf{E}\left( t \right)$$

dalla quale si ha:

$$\mathbf{P}\left( t \right) = \varepsilon _0 \left( {\varepsilon _... ...t)\mathbf{E}\left( t \right) = \varepsilon _0 \chi \mathbf{E}\left( t \right)$$

dove $\chi$ è detta suscettività dielettrica del mezzo. Dualmente per il campo induzione magnetica si può calcolare:

$$\mathbf{B}\left( t \right) = \mu _0 \mathbf{H}\left( t \right) + ... ...) = \mu _0 \mu _r \mathbf{H}\left( t \right) = \mu \mathbf{H}\left( t \right)$$

Caratterizzazione delle grandezze $\varepsilon,\mu,\sigma$ in base al tipo di mezzo che si considera:

• Mezzo non omogeneo: $\varepsilon,\mu,\sigma$ sono funzioni puntuali.
• Mezzo anisotropo: $\varepsilon,\mu,\sigma$ sono tensori (non diagonali).
• Mezzo non lineare: $\varepsilon,\mu,\sigma$ sono funzioni di $E$ ed $H$ .

Se il materiale è non omogeneo, i suoi parametri caratteristici $\varepsilon,\mu,\sigma$ sono funzioni di punto; ad esempio, nell'uomo, c'è una disomogeneità tra le caratteristiche della pelle e quelle dei muscoli. Se il mezzo è anisotropo, i suoi parametri caratteristici $\varepsilon,\mu,\sigma$ sono dei tensori, cioè sono funzione della direzione (le ossa possono essere considerate un mezzo anisotropo). Se il materiale è non lineare, $\varepsilon,\mu,\sigma$ sono funzioni di $E$ ed $H$ . Se il mezzo è temporalmente dispersivo, c'è un legame causa effetto tra segnale di ingresso e risposta del sistema(integrale di convoluzione); ad esempio, un tessuto biologico è polarizzabile fino a certe frequenze (le molecole d'acqua seguono le variazioni del campo fino a certe frequenze), quindi i suoi parametri caratteristici $\varepsilon,\mu,\sigma$ saranno funzioni di $\omega$ e quindi saranno grandezze complesse nel dominio della frequenza.

Se, quindi,

$$\mathbf{D}(t) = \int\limits_{ - \infty }^t {\varepsilon (t - \tau )\mathbf{E}(\tau )d\tau = \varepsilon (t) \otimes \mathbf{E}(t)}$$

il mezzo è temporalmente dispersivo.