Rilassamento dielettrico

Nello studio di un materiale posto fra le armature di un condensatore per valutarne le caratteristiche dielettriche, se la risposta del mezzo alle variazioni del campo esterno è istantanea si ha $P(t)=\varepsilon \chi E(t)$ . In realtà se si fa variare molto velocemente il potenziale alle piastre del condensatore le cariche impiegheranno un certo tempo per spostarsi e raggiungere l'interfaccia del mezzo. Si può fare l'ipotesi semplificativa che la variazione di polarizzazione sia proporzionale, tramite una costante $1/\tau$ , alla differenza tra il valore finale ed il valore istantaneo del fenomeno che si sta osservando, trovando che:

$$\mathbf{P}(t) = \varepsilon_0\chi \mathbf{E}_0\left( {1 - e^{ - t/\tau } } \right)$$

Ovviamente materiali diversi avranno diverse costanti di tempo $\tau$ . In soluzioni saline la costante di tempo assume il valore

$$\tau=\frac{4\pi \eta a^3}{k_BT}$$

Il processo di rilassamento è quindi una tensione fra la viscosità del mezzo e le forze di agitazione termica rappresentate dagli urti.

Si può, in generale, supporre l'esistenza di diversi processi di questo tipo, ognuno indipendente dall'altro, per cui si otterrà una sommatoria più un termine $\varepsilon_0 \mathbf{E}(j\omega)$ che si avrebbe se si fosse in presenza solo del vuoto.

Si è, finora, considerata la polarizzazione tramite spostamento di cariche; in realtà, per un generico dielettrico, si può supporre l'esistenza di numerosi processi di polarizzazione di cariche, si avrà, quindi, anche una polarizzazione per orientamento (fenomeno per il quale i dipoli tendono ad orientarsi secondo la direzione del campo esterno). Da tutte queste considerazioni si può generalizzare e concludere che:

$$\mathbf{D}(\omega ) = \varepsilon_0 \mathbf{E}(j\omega ) + \mathb... ...n {\frac{{\varepsilon_0 \chi_i \mathbf{E}(j\omega )}}{{1 + j\omega \tau i}}}$$

Nella sommatoria $n$ rappresenta il numero di specie chimiche che si trovano all'interno del sistema; indica quanto è sensibile la singola specie chimica all'azione del campo. Quando il segnale è a bassa frequenza, la risposta del mezzo é istantanea; aumentando, invece, la frequenza $\mathbf{P}$ diminuisce. Questo avviene perché i dipoli non riescono più ad orientarsi e le cariche libere non riescono a spostarsi in modo sufficientemente veloce. Alla frequenza per la quale $\omega \tau=1$ (frequenza di rilassamento) il valore del vettore di polarizzazione $\mathbf{P}$ si è dimezzato: metà delle molecole seguono il campo e metà no. Aumentando ancora di più la frequenza, nessuna molecola segue il campo, non si ha polarizzazione e, quindi, $\varepsilon_r\rightarrow 1$ . Questo fenomeno è detto rilassamento dielettrico.

In termini energetici è possibile osservare che in bassa frequenza non si hanno dissipazioni, perché tutte le molecole si muovono insieme; lo stesso discorso vale per le alte frequenze, dato che le molecole non si muovono. A frequenze dell'ordine di quella di rilassamento sono presenti invece fenomeni dissipativi, questo avviene perché ci sarà attrito tra molecole che seguono il campo e quelle che non lo seguono. In un tessuto biologico si hanno diverse costanti di tempo, associate a varie specie chimiche (molecole d'acqua, ioni, proteine). La specie chimica che risponde prima, nel tempo, è l'acqua, che risponde a frequenze maggiori rispetto agli altri componenti che tendono a muoversi più lentamente.

Possiamo scrivere:

$$\mathbf{D}(\omega)=\varepsilon_0 [\varepsilon_r'(\omega)-j\varepsilon_r''(\omega)]\mathbf{E}(\omega)$$

dove in $\varepsilon_r'$ e $\varepsilon_r''$ sono contenute le informazioni relative a $\tau_i$ e $\chi_i$ . Definiamo quindi una costante dielettrica relativa complessa

$$\varepsilon_r^{\star}(\omega)=\varepsilon_r'(\omega)-j\varepsilon_r''(\omega)$$

Sostituendo $\varepsilon_r^{\star}(\omega)$ nelle equazioni di Maxwell si ottiene:

$$\nabla \times \mathbf{H}(\omega) =j\omega \mathbf{D}(\omega)+\mathbf{J}(\omega)=j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r^{\star}(\omega)\mathbf{E}(\omega)+g_s\mathbf{E}(\omega)$$

$$\nabla \times \mathbf{H}(\omega) =j\omega \varepsilon_0 \varepsilon_r' \mathbf{E}(\omega)+(\omega\varepsilon_0\varepsilon_r''+g_s)\mathbf{E}(\omega)$$

Nell'ultima espressione è possibile introdurre una conducibilità equivalente

$$g_{eq}(\omega)=g_s+\omega \varepsilon_0\varepsilon_r''$$

quindi $\varepsilon_r''$ da contributo alla conducibilità, ottenendo così:

$$\nabla \times \mathbf{H}(\omega)=[j\omega \varepsilon_0 \varepsilon_r'+g_{eq}(\omega)]\mathbf{E}(\omega)=\mathbf{J}_{\textrm{totale}}$$ (2)

Il termine aggiuntivo nella $g_{eq}$ tiene conto dell'esistenza di conduzione per corrente di spostamento.

Si può definire, in modo equivalente, anche una costante dielettrica complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'+j\varepsilon''$ che tenga conto dell'esistenza di fenomeni di conduzione a frequenza nulla all'interno del materiale:

$$\nabla \times \mathbf{H}(\omega)=j\omega \varepsilon_0 (\varepsilon'+j\varepsilon'')\mathbf{E}(\omega)$$

La costante dielettrica complessa è formata di parte reale $\varepsilon'=\varepsilon_r'$ e parte immaginaria $\varepsilon''=\varepsilon_r''+g_s/\omega \varepsilon_0$ che rappresenta le perdite dovute all'orientazione dei dipoli. E' la costante $\varepsilon_c$ a caratterizzare il materiale, si può studiarne il suo andamento temporale.

La risposta dielettrica di un sistema del primo ordine a una eccitazione a gradino di ampiezza $E$ può essere scritta nella forma:

$$\frac{{D(t)}}{{\varepsilon _0 E(t)}} = \varepsilon _\infty + (\varepsilon _S - \varepsilon _\infty )(1 - e^{ - t/\tau } )$$

In quest'ultima, la costante $\varepsilon_{\infty}$ rappresenta la polarizzabilità elettronica a frequenza infinita. Studiamo la risposta al campo sinusoidale nel dominio di Fourier per giungere all'equazione di Debye:

$$\varepsilon _c = \frac{{D(j\omega )}}{{\varepsilon _0 E(j\omega )... ...fty )}}{{1 + j\omega \tau }} - \frac{{j\sigma _S }}{{\omega \varepsilon _0 }}$$

Separiamo parte reale e parte immaginaria:

$$\varepsilon _c = \varepsilon ' - j\varepsilon ''$$

$$\varepsilon ' =\varepsilon _\infty + \frac{{\varepsilon _S - \varepsilon _\infty }}{{1 + (\omega \tau )^2 }}$$

$$\varepsilon '' = \frac{{(\varepsilon _S - \varepsilon _\infty )\o... ...tau }}{{1 + (\omega \tau )^2 }} + \frac{{\sigma _S }}{{\omega \varepsilon _0 }}$$

$$\sigma =\sigma _S + \frac{{(\sigma _\infty - \sigma _S )(\omega \tau )^2 }}{{1 + (\omega \tau )^2 }}$$

I valori di $\varepsilon_{\infty},\varepsilon_s,\sigma_{\infty},\sigma_s$ sono legati dalla relazione:

$$\frac{{(\varepsilon _S - \varepsilon _\infty )\varepsilon _0 }}{\tau } = \sigma _\infty - \sigma _S$$

E' possibile scrivere una relazione di dipendenza dal tempo per la densità di corrente $\mathbf{J}$ analoga a quella vista in precedenza:

$$\frac{J}{E} = \sigma _\infty + (\sigma _S - \sigma _\infty )(1 - e^{ - t/\tau } )$$

Nel dominio della frequenza questa equazione diventa:

$$\sigma _{eq} = \sigma _\infty + \frac{{(\sigma _S - \sigma _\infty )}}{{1 + j\omega \tau }} + \omega \varepsilon _\infty \varepsilon _0$$

Alla frequenza di rilassamento $f_c=1/2\pi\tau$ la permittività è a metà strada fra valori di alta e bassa frequenza. I grafici normalizzati dei comportamenti suddetti sono riportati in figura

Figura: Permittività relativa in frequenza; Conducibilità in frequenza