Energy transfer in collisioni Coulombiane

Una carica pesante $ze$ e massa $M$ collide con un elettrone in un atomo. L'elettrone è trattabile come una carica puntiforme a riposo a causa della grande velocità del proiettile, assumiamo inoltre che il trasferimento di momento $\Delta p$ sia sufficientemente piccolo che la particella incidente non venga deflessa. Con queste ipotesi per calcolare il trasferimento d'energia fra i due sistemi dobbiamo calcolare il momento causato dal campo elettrico perpendicolare (l'unica componente che agisce sulla forza) della particella incidente nella posizione dell'elettrone ¹.

La particella incidente (proiettile) ha velocità $v$ ed energia $E=\gamma Mc^2$ . Essa passa a distanza $b$ (parametro d'impatto) dall'elettrone, producendo un campo elettrico in direzione perpendicolare d'intensita

$$E\bot=\frac{ze}{(b^2+v^2t^2)^{3/2}}$$

Il trasferimento di momento nella direzione trasversale è

$$\Delta p=\int_{-\infty}^{+\infty}eE_1(t)dt=\frac{2ze^2}{bv}\left[ \arctan (vt/b)/b\right]_{-\infty}^{+\infty}= \frac{2ze^2}{bv}$$

Notare che $\Delta p$ è indipendente da $\gamma$ fattore di Lorentz. L'energia trasferita all'elettrone è dunque

$$\Delta E(b)=\frac{(\Delta p)^2}{2m}=\frac{2z^2e^4}{mv^2}\frac{1}{b^2}$$ (1)

In questa trattazione notiamo che la deflessione angolare $\vartheta$ è piccola perchè la variazione di impulso è anch'essa piccola:

$$\vartheta \approx \frac{\Delta p}{p}$$

e coincide con lo scattering Rutherford in campo Coulombiano se sviluppiamo la

$$2\tan (\vartheta/2)=\frac{2zZe^2}{pvb}$$

L'energy transfer 1 dipende solo dalla carica e dalla velocità della particella incidente, non dalla sua massa e varia con l'inverso del quadrato del parametro d'urto. Questo modello di calcolo presenta tuttavia un problema di divergenza in $b=0$ . Logicamente esiste un limite superiore all'energy transfer corrispondente alla collisione frontale, tuttavia il nostro metodo di calcolo è valido per ampi valori di $b$ . Possiamo ottenere un limite minimo di $b$ , detto $b_{\min}$ tale per cui questa trattazione è valida imponendo che il trasferimento d'energia sia massimo. Dalla teoria relativistica degli urti fra particelle, supponendo il C.M. sulla particella proiettile, sappiamo che il massimo trasferimento d'energia è dato da

$$\Delta E_{\max}=2m\gamma^2 v^2$$

In corrispondenza di $b_{\min}$ fissiamo il limite inferiore del parametro d'impatto, così da avere:

$$\Delta E(b_min)=\Delta E_{\max}=2m\gamma^2v^2$$

da cui si ottiene,

$$b_{\min}=\frac{ze^2}{\gamma m v^2}$$

Se non avessimo fatto nessuna approssimazione oltre a $M\gg m$ si potrebbe mostrare che nell'impatto fra particella carica ed elettrone a riposo il $\Delta E(b)$ assume il valore:

$$\Delta E(b)=\frac{2z^2e^4}{mv^2}\frac{1}{b^2+(ze^2/mv^2)^2}$$ (2)

Formula che nel nostro caso, con il corretto valore di $b_{\min}$ porta a:

$$\Delta E(b)=\frac{2z^2e^4}{mv^2}\frac{1}{b^2+b_{\min}^2}$$ (3)

La 3 mostra il comportamento correto per $b\rightarrow 0$ .

Il limite inferiore per $b$ può essere derivato in un'altra maniera. Nel modello precedente avevamo assunto che l'elettrone non si muovesse durante la collision, supponiamo che questo succeda ad una certa distanza $d$ per cui l'elettrone è lento. La distanza $d$ si può stimare affermando che $\Delta p/2m$ ossia la velocità media del proiettile e il tempo di collisione dato da argomenti relativistici $\Delta t\approx b/\gamma v$ siano legate da:

$$d\approx \frac{\Delta p}{2m}\Delta t=\frac{ze^2}{\gamma mv^2}=b_{\min}$$ (4)

Fino a quando $b\gg d$ vale 4. Per collisioni molto distanti la 1 non va bene a causa dei legami degli elettroni atomici. Bisogna allora sviluppare un modello in cui l'elettrone venga considerato legato all'atomo. Il modo più semplice è quello di ipotizzare un legame armonico come si vedrà nel prossimo paragrafo.

Quando il tempo di collisione $\Delta t$ diventa molto maggiore del periodo di moto orbitale dell'elettrone, esso compierà molti cicli di rivoluzione orbitale durante il passaggio del proiettile e sarà influenzato adiabaticamente dal campo elettrico senza trasferimento netto d'energia.

Lo spartiacque che divide le due situazioni si trova al parametro d'impatto $b_{\max}$ quando $\Delta t$ e $T_{orb}$ sono paragonabili. Se chiamiamo la frequenza caratteristica atomica $\omega$ , allora $T_{orb}\propto 1/\omega$ quindi

$$b_{\max}=\gamma v/\omega$$

Per parametri d'impatto $b>b_{\max}$ la (1) cade rapidamente a zero. Il comportamento generale di (1) è mostrato in figura 1

Figura 1: Trasferimento d'energia funzione del parametro d'impatto.

Nell'intervallo $b_{\min}<b<b_{\max}$ il trasferimento d'energia è dato approssimativamente da (1), ma per parametri d'impatto fuori da questo intervallo l'energy transfer è considerabilmente minore. Possiamo correggere questo andamento considerando che una particella veloce passando attraverso la materia vede gli elettroni a varie distanze dal suo cammino, se ci sono $N$ atomi per unità di volume con $Z$ elettroni per atomo, allora il numero di elettroni posti in un intervallo fra $b$ e $b+db$ in uno spessore $dx$ di materiale è:

$$dn=NZ2\pi b db dx$$ (5)

Per trovare l'energia persa per unità di distanza dalla particella incidente moltiplichiamo quest'ultima espressione per (1) ed integriamo su tutti i parametri d'impatto. Troviamo

$$\frac{dE}{dx}=2\pi NZ \int \Delta E(b)b \, db$$ (6)

Approssimiamo integrando fra $b_{\min}$ e $b_{\max}$ . Otteniamo

$$\frac{dE}{dx}\approx 4\pi NZ \frac{z^2e^4}{mv^2}\int_{b_{\min}}^{b_{\max}}\frac{1}{b^2}b\, db$$ (7)

quindi troviamo la formula corretta per l'energy transfer (stopping power) nel caso di urti coulombiani

$$\frac{dE}{dx}\approx 4\pi NZ \frac{z^2e^4}{mv^2}\log \left( \frac{b_{\max}}{b_{\min}}\right)$$ (8)

dove $b_{\max}=\gamma v / \omega$ e $\omega$ è la frequenza caratteristica dell'atomo bersaglio. Chiamiamo con $B_{class}$ il rapporto presente nel logaritmo:

$$B_{class}=\frac{b_{\max}}{b_{\min}}=\frac{\gamma^2mv^3}{ze^2\omega}$$ (9)

Questa formula classica approssimata esprime tutte le caratteristiche della formula per l'energy transfer calcolata da Bohr nel caso di collisioni con cariche legate armonicamente che trattiamo nel prossimo paragrafo.