Trasferimento d'energia ad una carica legata armonicamente: formula di Bohr

Dobbiamo poter giustificare il parametro $b_{\max}$ che divide i casi di studio fra collisioni Coulombiane ( $b<b_{\max}$ ) e collisioni adiabatiche $b>b_{\max}$ . Consideriamo il problema di perdita energetica di una particella massiva che passi vicino ad una carica legata armonicamente come può essere in prima approssimazione un elettrone nello shell atomico. Questo modello serve come prototipo semplificato per il calcolo dello stopping power di particelle passanti nella materia e farà da modello generale per il calcolo del potere frenante dei materiali.

Consideriamo che il proiettile non venga deviato nella sua traiettoria e passi a distanza $b$ , nel limite non relativistico, presso una carica $ze$ legata armonicamente ad un potenziale di centro $O$ e le cui oscillazioni siano piccole rispetto a $b$ . In questo modo includiamo solamente il campo elettrico generato dal proiettile e si trascura la posizione del bersaglio rispetto all'equilibrio (approssimazione di dipolo).

L'equazione di moto di una carica che si muove di moto armonico è del tipo:

$$\mathbf{\ddot{x}}+\Gamma \mathbf{\dot{x}}+\omega_0^2\mathbf{x}=\frac{e}{m}\mathbf{F}(t)$$ (10)

dove $E(t)$ è il campo elettrico generato dalla particella di componente perpendicolare (calcolato con l'elettrodinamica)

$$E_{\bot}=\frac{\gamma q b}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}$$ (11)

La costante di smorzamento $\Gamma$ è trascurabile, tuttavia presente per facilitare alcuni calcoli. Risolviamo l'equazione del moto (10) con la trasformata di Fourier:

$$x(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{x(\omega)e^{-i\omega t}\, d\omega} \quad E(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{E(\omega)e^{-i\omega t}\, d\omega}$$ (12)

ottenendo la soluzione trasformata del moto:

$$x(\omega)=\frac{e}{m}\frac{E(\omega)}{\omega_0^2-i\omega \Gamma -\omega^2}$$ (13)

Quest'ultima quantità, antitrasformata, fornisce il moto dettagliato della particella. Questo procedimento tuttavia non ci interessa perchè vogliamo ricavare l'energy transfer del processo di scattering.

Iniziamo considerando il lavoro fatto dalla carica proiettile sulla carica legata. Sappiamo che:

$$\frac{dE}{dt}=\int{\mathbf{E}\cdot \mathbf{J}d^3x'}$$ (14)

quindi integrando nel tempo abbiamo direttamente

$$\Delta E=\int{\int{\mathbf{E}\cdot \mathbf{J}d^3x'}\, dt}$$ (15)

La densità di corrente di una carica legata oscillante è $\mathbf{J}=e\mathbf{v} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}'(t))$ quindi ponendo $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$ dobbiamo risolvere l'integrale:

$$\Delta E= e \int_{-\infty}^{+\infty}{\mathbf{v}\cdot\mathbf{E}dt}=2e \Re \l... ...fty}^{+\infty}{-i\omega \mathbf{x}(\omega) \cdot \mathbf{E}^*(\omega)} \right\}$$ (16)

$$= \frac{e^2}{m}\int_{-\infty}^{+\infty}{\vert E(\omega)\vert^2\frac{2\omega^2 \Gamma}{(\omega_0^2-\omega^2)+\omega^2 \Gamma^2}\,d\omega}$$ (17)

La distribuzione Lorentziana è fortemente piccata in $\omega_0$ e quindi è approssimabile come una $\delta(\omega-\omega_0)$ , fornendo il risultato generale:

$$\Delta E=\frac{\pi e^2}{m}\vert\mathbf{E}(\omega_0)\vert^2$$ (18)

La (18) è il risultato più generale per il calcolo del trasferimento d'energia in collisioni non relativistiche su oscillatori. Ovviamente per trovare un valore bisogna conoscere $\vert\mathbf{E}(\omega_0)\vert^2$ .