Trattamento quantistico delle formule di perdita d'energia

La formula (1) può essere utilizzata per calcolare lo stopping power per particelle pesanti passanti nella materia. Supponiamo che ci siano $N$ atomi per unità di volume con $Z$ elettroni per atomo. Gli $Z$ elettroni possono essere divisi in gruppi con $f_i$ elettroni alla frequenza di legame $\omega_i$ . Il numero $f_i$ è detto ''forza dell'oscillatore'' dell'i-esimo oscillatore, ovviamente $\sum f_i=Z$ . Estendendo quanto visto alla (8) giungiamo a:

$$\frac{dE}{dx}=2\pi N \sum f_i \int_{b_{\min}}^{\infty}\Delta E_i(b)b \, db$$ (19)

Questo calcolo porta alla formula finale classica per la perdita energetica

$$\frac{dE}{dx}=4\pi NZ \frac{z^2e^4}{mv^2}\left[ \log{B_c}-\frac{v^2}{2c^2} \right]$$ (20)

dove l'argomento del logaritmo $B_c$ vale

$$B=\frac{1.123 \gamma^2 mv^3}{ze^2 \left<\omega \right>}$$ (21)

$B_c$ si distingue dal più semplice (9) per la costante $1.123$ e il $\left< \omega \right>$ trattandosi di una collezione di oscillatori.

La frequenza media $\left< \omega \right>$ che compare nelle formule precedenti è una media geometrica definita da

$$Z \log \left <\omega \right>=\sum_i f_i \log \omega_i$$

Questo è esattamente il risultato trovato da Bohr nel suo classico lavoro sulla perdita d'energia.La correzione $-\beta^2/2$ è presente a velocità relativistiche.

La formula di Bohr (20) da una buona descrizione dei fenomeni di perdita energetica per particelle alfa lente e nuclei pesanti ma per i protoni fornisce una sovrastima dell'energy lost. Quest'ultimo fatto è dovuto alla dimensione considerevolemente minore di protoni ed elettroni che chiama in causa un trattamento quantomeccanico.

Il problema della natura discreta del trasferimento d'energia può essere illustrato calcolando l'energy transfer classico a $b\approx b_{\max}$ . Assumendo una sola frequenza di legame $\omega_0$ per semplicità, troviamo:

$$\Delta E(b_{\max})\approx \frac{2}{\gamma^2}z^2 \left( \frac{v_0}{ v} \right)^4 \hbar \omega_0$$ (22)

dove $v_0=c/137$ è la velocità orbitale di un elettrone nello stato ground dell'idrogeno. Dal momento che $\hbar \omega_0$ è dell'ordine del potenziale di ionizzazione atomico allora per particelle veloci ($v\gg v_0$ ) il trasferimento d'energia classico è piccolo confrontato con il potenziale di ionizzazione. Sappiamo tuttavia che l'energia è scambiata in pacchetti definiti, quindi (22) funziona correttamente solo se il trasferimento d'energia è grande rispetto alle energie di eccitazione atomiche. Questo è vero quando si fa una media statistica.

Un'altra correzione quantomeccanica da fare al modello è l'incertezza nell'orbita dell'elettrone bersaglio fornita dal principio di indeterminazione, infatti $\Delta x \Delta p \approx \hbar$ quindi il minimo parametro d'impatto (per particelle pesanti²) risulta

$$b_{\min}^{(q)}=\frac{\hbar}{p}=\frac{\hbar}{\gamma m v}$$

Il rapporto fra minimo parametro d'impatto classico e quantistico, $\eta$ è quindi

$$\eta=\frac{ze^2}{\hbar \nu}$$

Possiamo concludere quindi che in situazioni in cui $\eta >1$ deve essere usata la formula di Bohr, questo succede per particelle lente altamente cariche, dello stesso ordine di grandezza dei dati sperimentali. Nelle situazioni con $\eta <1$ il parametro minimo d'impatto quantistico è maggiore di quello classico quindi la quantità $B$ definita precedentemente diventa

$$B^{(q)}=\frac{b_{\max}}{b_{\min}^{(q)}}=\eta B=\frac{\gamma^2 mv^2}{\hbar \left< \omega \right>}$$

L'equazione (20) corretta con un $B^{(q)}$ nel logaritmo è una buona approssimazione del risultato teorico di Bethe (1930):

$$\frac{dE^{(q)}}{dx}=4\pi NZ \frac{z^2e^4}{mv^2}\left[ \log \left(... ...c{2\gamma^2 mv^2}{\hbar \left< \omega \right >}\right) -\frac{v^2}{c^2} \right]$$ (23)

Il comportamento generale di (23) (invertita di segno) è mostrato in figura 2:

Figura 2: Perdita energetica media in una camera a bolle. Notiamo che la curva presenta un minimo che è circa lo stesso per tutte le particelle della stessa carica.

Osserviamo che (23) dipende dalla carica della particella incidente $z^2$ per l'interazione Coulombiana, per $\beta$ crescente decresce come $1/\beta^2$ raggiungendo un minimo per $\beta \gamma \approx 3-4$ e poi risale in quanto $\log(\beta^2\gamma^2)$ domina (risalita relativistica), inoltre dipende dal potenziale di ionizzazione medio del materiale, rappresentato da $I=\hbar \left< \omega \right>$ dove per elementi con $Z\geq 20$ si ha approssimativamente $I=12Z\, [eV]$ .