La formula di Bethe-Bloch

Nella pratica vengono aggiunte normalmente due correzioni: l'effetto densità ,$\delta$ legato al fatto che il campo elettrico della particella tende a polarizzare gli atomi lungo il suo percorso, e la correzione di shell $C(I, \beta \gamma)$ che diventa importante quando la velocità della particella incidente è confrontabile o minore della velocità orbitale degli elettroni legati del mezzo: a tali energie, infatti, l'assunzione che l'elettrone sia fermo rispetto alla particella incidente non è più valida e la formula di Bethe-Bloch necessita di una correzione.

In materiali densi la polarizzazione del dielettrico del materiale altera i campi della particella incidente dai valori nello spazio vuoto a quelli caratteristici di campi macroscopici in un dielettrico. La polarizzazione del mezzo agisce da schermo e modifica il massimo parametro d'impatto. Questo fenomeno è chiamato effetto densità in quanto dipende dalla densità del mezzo. Più denso è il mezzo tanto prima si raggiunge il plateau di Fermi. La salita relativistica è più importante nei gas che nei liquidi e nei solidi.

La formula di Bethe-Block è quindi una correzione della 20. Introdotto il raggio classico dell'elettrone $r_e={e^2}/({m_ec^2})$ essa è fornita dalla seguente espressione

$$\left\langle {\frac{{dE}}{{dx}}} \right\rangle = - \frac{{4\pi N_... ... }}{I}} \right) - \left( {\frac{v}{c}} \right)^2 - \frac{\delta }{2}} \right]$$

o equivalentemente per coerenza con le notazioni precedenti, notando che $T_{\max}=2m\gamma^2v^2$ :

$$\left\langle {\frac{{dE}}{{dx}}} \right\rangle = - 4\pi N_A r_e^2... ...gamma ^2 \beta ^2 }}{{I^2 }}T^{\max } - \beta ^2 - \frac{\delta }{2}} \right]$$

La quantità $4\pi N_A r_e^2m_ec^2=0,3071 MeV/(gr\cdot cm^2)$ . Per protoni di $200 MeV$ , $\beta=0.41$ in un mezzo con un rapporto medio $Z/A\approx 0.5$ come può essere un mezzo biologico si calcola, ponendo attenzione alle unità di misura (indicare tutto in MeV, cm, gr):

$$\frac{dE}{dx}=-0.3071\cdot 0.5 \cdot (0.41)^{-2} \cdot 6.9 \approx 12.3 MeV/(gr \,cm^2)$$

che è il corretto ordine di grandezza dello stopping power per protoni di energie di 200 MeV.

Assumendo che la perdita di energia nel mezzo sia continua, la distanza massima di penetrazione è un numero ben definito per tutte le particelle identiche con stessa energia iniziale che attraversano lo stesso materiale. Questa quantità è chiamata range della particella. Da un punto di vista teorico, possiamo calcolare il range medio di una particella di una data energia iniziale $E_0$ mediante il seguente integrale

$$R(E_0)= \int_0^{E_0}\left( \frac{dE}{dx}\right)^{-1}dE$$ (24)

Se ora proviamo a calcolare approssimativamente il range, supponendo che l'integrando sia approsimativamente costante (ipotesi forte), abbiamo che per tessuti biologici con $Z/A=0.5$ si ha: $R=\frac{200\, MeV}{12.3 MeV/(gr\, cm^2)}\approx 16 gr/cm^2$ in pieno accordo con i dati sperimentali riferiti ai protoni. In figura 3 è mostrato il range di protoni di diverse energie in tessuto muscolare:

Figura: Range di protoni in tessuto muscolare. Protoni a 200 MeV presentano un range di circa $26 \, gr/cm^2$ . Dati riferiti al simulatore PSTAR presente all'indirizzo [2].

Dalla figura (2) appare chiaro che l'energia persa per unità di lunghezza varia al variare dell'energia cinetica della particella; inoltre tale perdita diventa molto più significativa alla fine del percorso. Per elettroni e positroni, invece, il rilascio di energia in funzione dello spessore attraversato è differente a causa di ulteriori meccanismi che intervengono nella loro interazione con la materia.

Figura 4: Energia persa per unità di percorso in funzione della profondità percentuale.

L'andamento della perdita di energia delle particelle positive pesanti in funzione della profondità del mezzo, noto come picco di Bragg, è rilevabile nella figura (4) per un fascio di protoni di 200 MeV. Tali particelle hanno un picco di ionizzazione subito prima della fine del loro percorso quando si legano ad un elettrone del mezzo e non ionizzano più. Il picco di Bragg corrisponde alla massina densità di ioni generata. E' di grande interesse in radioterapia perchè permette di distruggere molte cellule tumorali nella zona del picco ma poche sane nella regione attraversata.