Il decadimento $\beta$ del neutrone libero

$$n \rightarrow p+ e^- + \bar{\nu}_e$$

Il decadimento $\beta$ del neutrone libero (energia massima dell'elettrone $E_0=782 keV$ , vita media $\tau=15$ minuti) è una sorgente ricca di dati di alta precisione per lo studio dell'interazione debole a bassa energia. Per descrivere lo spettro $\beta$ nel decadimento del neutrone e determinare le costanti di accoppiamento ad esso associate, prendiamo in considerazione la probabilità di decadimento. Questa può essere calcolata a partire dalla regola d'oro di Fermi. Se l'elettrone possiede energia $E_e$ , il tasso di decadimento è dato da:

$${W_{fi} \left( {E_e } \right) = \frac{{2\pi }}{\hbar }\left\vert ... ...rt H_W \left\vert i \right\rangle } \right\vert^2 \rho \left( {E_f } \right)}$$

dove $\left\langle f \right\vert H\left\vert i \right\rangle$ è l'elemento di matrice dell'Hamiltoniana d'interazione e gli stati $\left\vert f \right\rangle$ e $\left\vert i \right\rangle$ sono quelli finale ed iniziale del processo. Lo stato $\left\vert f \right\rangle$ è approssimabile come il prodotto della funzione d'onda di protone, elettrone ed antineutrino.

$$\left\vert f \right\rangle = \left\vert p \right\rangle \left\vert e \right\rangle \left\vert {\bar \nu } \right\rangle$$

mentre $\rho(E_f)$ è la densità di stati finale antineutrino-elettrone con energia totale $E_f$ di cui l'elettrone ne trasporta una parte $E_e$ .

Ora la difficoltà teorica sta nel determinare l'elemento di matrice e la densità di stati finale. Per semplicità discretizziamo il problema ad una ''scatola'' di volume V, cosìcchè le funzioni d'onda $\psi_e, \psi_p,\psi_{\bar{\nu}}$ abbiano il fattore di normalizzazione $V^{-1/2}$ . Mostreremo che il calcolo della densità di stati porterà a:

$$\rho(E_f)=V^2 \frac{(4\pi p_e^2)(4\pi p_{\bar{\nu}}^2)dp_e\, dp_{\bar{\nu}}}{(2\pi h)^6 \,dE_e}$$ (1)