Una particella

Calcolare () significa trovare $dN/dE$ , dove $N(E)$ è il numero di stati ad energia $E$ .

Per il principio di indeterminazione, ogni particella occupa nello spazio delle fasi un volume pari a $h^3=(2\pi \hbar)^3$ . Consideriamo una particella diffusa in un volume $V$ detto volume di normalizzazione ed in un intervallo di impulsi compresi fra $p$ e $p+dp$ . Nello spazio degli impulsi, questo intervallo corrisponde ad una calotta sferica di raggio interno $p$ e quindi occupa un volume $4\pi p^2\, dp$ . Se si escludono i processi accompagnati da variazioni di spin, il numero di stati finali disponibili al sistema è

$$dN(p)=V \frac{4\pi p^2}{(2\pi \hbar)^3}dp$$ (2)

Ricordiamo che una particella libera ha energia $E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$ . Siamo interessati a conoscere $dp/dE$ perchè legato a $dN/dE$ .

Svolgiamo il seguente calcolo:

$$\frac{dE}{dp}=\frac{d}{dp} \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}=\frac{pc}{\sqrt{p^2+m^2c^2}}=\frac{pc^2}{E}$$ (3)

Invertendo la derivata in () troviamo

$$\frac{dp}{dE}=\frac{E}{pc^2}$$ (4)

Possiamo inserire quest'espressione in quella per la densità degli stati che richiede la conoscenza di (), infatti:

$$\frac{dN}{dE}=\frac{dN}{dp}\frac{dp}{dE}=\frac{dN}{dp}\frac{E}{pc^2}$$ (5)

La quantità $dN/dp$ si trova dalla quantizzazione degli impulsi per una particella nella scatola di lato $l$ che impone $k_{n_i}=2\pi N_i/L$ e poichè

$$p_i=\hbar k_i = \hbar \frac{2\pi N_i}{L}$$

allora

$$\frac{dN}{dp}=\frac{L}{2\pi \hbar}$$

Per 3-dimensioni il discorso si generalizza con una cella di dimensioni $h^3$ e si ottiene

$$N=\frac{V\int{d^3p}}{h^3}$$ (6)

Abbiamo ora gli ingredienti per trovare la densità di stati ad una particella (), basta infatti inserire () e ():

$$\rho_1(E)=\frac{VpE}{2\pi^2 c^2 \hbar^2}$$ (7)