Due particelle

Poichè l'energia di un sistema a due particelle è $E=E_1+E_2$ allora la densità di stati a energia $E$ è data da:

$$\rho _2 \left( E \right) = \frac{V}{{\left( {2\pi \hbar } \right)... ...c{V}{{\left( {2\pi \hbar } \right)^3 }}\int_{}^{} {p_1^2 dp_1 d\Omega _1 } }$$

Nel riferimento del centro di massa del sistema, abbiamo, per la conservazione dell'impulso, $p_1dp_1=p_2dp_2$ e $dE=dE_1+dE_2$ da cui ricaviamo

$$dE=p_1dp_1 \frac{(E_1+E_2)c^2}{E_1E_2}$$

In questo modo possiamo esprimere la derivata rispetto ad $E$ come una derivata rispetto a $p_1$ ed ottenere:

$$\rho _2 \left( E \right) = \frac{V}{{\left( {2\pi \hbar } \right)... ...} \right)^3 c^2 }}\frac{{E_1 E_2 }}{{E_1 + E_2 }}p_1 \int_{}^{} {d\Omega _1 }$$

Estendendo a 3 particelle il ragionamento precedente, troviamo che la densità di stati finale per 3 particelle vincolate dalla conservazione dell'energia e dell'impulso è fornita da:

$$\rho \left( E \right) = \frac{{V^2 }}{{\left( {2\pi \hbar } \righ... ...tot} }}\left[ {\int_{}^{} {p_e^2 dp_e \int_{}^{} {p_\nu ^2 dp_\nu } } } \right]$$ (8)

Fissata l'energia dell'elettrone $E_e$ , trascurando effetti di rinculo del protone, si ha $E_{tot}=E_e+E_{\nu}$ e quindi $dE_{tot}=dE_{\nu}$ , allora

$$d\rho \left( E \right) = \frac{{\left( {4\pi } \right)^2 V^2 }}{{... ...} \right)^6 }}p_e^2 dp_e \frac{d}{{dE_\nu }}\left( {p_\nu ^2 dp_\nu } \right)$$

Utilizzando la relazione relativistica fra energia ed impulso e trascurando la massa del neutrino, $E_e = \sqrt {p_e^2 c^2 + m_e^2 c^4 }$ , $E_{\nu}=p_{\nu}c$ abbiamo che:

$$p_{\nu}dp_{\nu}c^3=(E_t-E_e)dE_t$$

Quest'espressione inserita nella precedente ci permette di trovare l'espressione corretta per il calcolo della densità di stati finale del processo a due particelle che risponde alla conservazione dell'energia e dell'impulso:

$$d\rho(E)=\frac{(4\pi)^2V^2}{(2\pi \hbar)^6 c^3}p_e^2 (E_{tot}-E_e)^2dp_e$$ (9)

Possiamo ora stimare la probabilità di transizione per unità di tempo che un elettrone emerga dal processo attraverso la regola d'oro di Fermi:

$$W_{f\rightarrow i}= \frac{2\pi}{\hbar} \left\vert {\left\langle f \right\vert H\left.... ...rt^2 \left( \frac{4\pi V}{(2\pi \hbar c)^3}\right )^2 p_e^2 (E_{tot}-E_e)^2dp_e$$

$$=\frac{V^2}{2\pi^3 c^3 \hbar^7} {\left\vert {\left\langle f \righ... ...H\left. i \right\rangle } \right\vert^2}_{\textrm{m}} p_e^2 (E_{tot}-E_e)^2dp_e$$ (10)

dove si deve mediare l'elemento di matrice su tutti gli angoli d'uscita.