L'elemento di matrice $W_{fi}$

Sondiamo a fondo l'elemento di matrice

$$\left\langle {\psi _p \left( {r_p } \right)\psi _e \left( {r_e } ... ...t)} \right\vert H_W \left\vert {\psi _n \left( {r_n } \right)} \right\rangle$$

Approssimiamo le funzioni d'onda di elettrone e neutrino con onde piane (autofunzioni di particella libera) perchè elettrone e neutrino non interagiscono:

$$\psi _{\nu} \left( {r_{\nu} } \right) = \frac{1}{{\sqrt V }}e^{i\mathbf{p}_\nu \cdot \mathbf{r}_\nu /\hbar }$$

$$\psi _e \left( {r_e } \right) = \frac{1}{{\sqrt V }}e^{i\mathbf{p}_e \cdot \mathbf{r}_e /\hbar }$$ (11)

La funzione d'onda $\psi_p$ sarà non nulla solo nelle vicinanze del nucleo, all'esterno di esso sarà nulla. Per impulsi del neutrino piccoli possiamo sviluppare la funzione d'onda e mantenere il primo termine $\psi_{\nu}=V^{-1/2}$ perchè $\mathbf{k}\cdot \mathbf{r} \ll 1$ e analogo per l'elettrone. Questo si può fare perchè le energie in gioco sono dell'ordine dei MeV e quindi $k\approx 0.01 fm^{-1}$ , quindi la funzione d'onda non oscilla apprezzabilmente sulle dimensioni nucleari. Procediamo scrivendo allora l'elemento di matrice approssimato:

$$\frac{1}{V} \left\langle {\psi _p \left( {r_p } \right)} \right\vert H_W \left\vert {\psi _n \left( {r_n } \right)} \right\rangle$$

Figura: Decadimento $\beta$ del nucleo ed interazione di contatto.

Se le interazioni in gioco sono deboli allora hanno corto raggio per cui approssimiamo la Hamiltoniana di interazione debole $H_W$ con una costante moltiplicativa per una delta $\delta (\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$ :

$$H_W(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)=g \delta(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$$

La costante di accoppiamento debole $g$ ha le dimensioni di energia $\times$ volume e l'integrale di sovrapposizione è di fatto una costante:

$$\left\langle f \right\vert H_W \left\vert i \right\rangle = \frac... ...right\vert\delta(\mathbf{r}_p-\mathbf{r}_n) \left\vert {\psi _n } \right\rangle$$ (12)

Abbiamo quindi esplicitato l'elemento di matrice da inserire nel tasso di probabilità di transizione per calcolare la vita media del neutrone.