Correzione di Fermi

Nella trattazione precedente non si è considerato l'effetto del campo Coulombiano del nucleo sull'elettrone, infatti si è notato sperimentalmente che per il $Cu^{64}$ che decade sia $\beta +$ sia $\beta -$ la $\psi_{e+}$ intorno al nucleo è bassa a causa della repulsione. Bisogna quindi introdurre un fattore di correzione.

Figura: Distribuzione d'impulso degli elettroni e positroni emessi nel decadimento del rame 64

Questa correzione è stata calcolata da Fermi in funzione del numero atomico e dell'energia dell'elettrone, basta sostituire le funzioni d'onda di elettrone o positrone con quelle rispettivamente che avrebbero nel nucleo parente o genitore. Il fattore di correzione $F$ diventa dunque

$$F=\frac{2\pi \eta}{1-e^{-2\pi \eta}} \qquad \eta=\pm \frac{ze^2}{\hbar \nu}$$ (15)

dove il segno più o meno è a seconda che sia positrone o elettrone.

La teoria di Fermi riproduce i dati sperimentali della distribuzione di energia degli elettroni emessi nel decadimeto $\beta$ dei nuclei con la funzione $P(p)dp=d\lambda$

$$d\lambda = \frac{{g^2 }}{{2\pi ^3 c^3 \hbar ^7 }}\left\vert {M_{fi} } \right\vert^2 F\left( { \pm Z,E} \right)\left( {W - E} \right)^2 p^2 dp$$

che rappresenta a parte la correzioni di Fermi la densità nello spazio delle fasi del decadimento a 3 corpi. L'integrale della distribuzione è l'inverso della vita media del decadimento:

$$\int_0^{p_{\max}}d\lambda=\frac{1}{\tau}$$

e quindi possiamo ottenere dalla misura di $\tau$ il valore del prodotto della costante di accoppiamento per l'elemento di matrice $g\vert M_{fi}\vert^2$ ottenendo l'espressione per la vita media di decadimento

$$\frac{1}{\tau } = \frac{{\left( {mc^2 } \right)^5 }}{{2\pi ^3 \hb... ...^6 }}g^2 \left\vert {M_{fi} } \right\vert^2 f\left( { \pm Z,\eta _0 } \right)$$