Teoria dei decadimenti a cascata

Già nei primi anni di studio dei decadimenti delle sostanze radioattive si dimostrò che l'attività, definita come il numero di decadimenti nell'unità di tempo, decresce nel tempo con legge esponenziale e che il processo di decadimento è di natura casuale. Questa evidenza portò a concludere che il decadimento radioattivo non è originato dalla mutazione delle caratteritiche chimiche della sostanza, ma risulta dalla successione di più processi che coinvolgono i singoli atomi. Il fenomeno del decadimento di una sostanza radioattiva si può interpretare sulla base delle seguenti ipotesi:

• La probabilità di decadimento nell'unità di tempo è una proprietà della sostanza e del processo di decadimento e non dipende dal tempo.
• In una sostanza contenente N nuclei, la probabilità di decadimento nell'unità di tempo del singolo nucleo non dipende da N.

Quindi la probabilità di decadimento in un intervallo di tempo $dt$ è:

$$dP=\lambda dt$$

dove $\lambda$ è la costante di decadimento caratteristica del processo e ha dimensioni $s^{-1}$ . Se la sostanza contiene N nuclei e se il numero N è grande in modo da poterlo trattare come una variabile continua, la variazione (diminuzione) del numero di nuclei nell'intervallo di tempo dt è:

$$dN=-\lambda N dt$$

Conoscendo il valore di N ad un certo istante, $N(t= 0) = N_0$ , si ottiene l'andamento nel tempo del numero di nuclei e dell'attività della sostanza:

$$N(t)=N_0e^{-\lambda t} \qquad A(t)=\lambda N_0 e^{-\lambda t}$$

Si definisce il tempo di dimezzamento $t_{1/2}$ come il tempo che serve perchè il numero di nuclei diventi la metà:

$$t_{1/2}=\tau \log 2 =0.693 \tau$$

L'unità di misura comunemente usata per l'attività è il Curie, definito come l'attività di un grammo di radio:

$$1 Ci=3.7 \times 10^{10} \textrm{ Disintegrazioni al secondo}=3.7 \times 10^{10} Bq$$