Decadimenti in cascata

Se un nucleo prodotto in un decadimento è a sua volta radioattivo si producono decadimenti in cascata. Questo fenomeno interessa principalmente i nuclei pesanti che danno origine a catene radioattive con molti decadimenti in cascata. Se $\tau_1$ è la vita media del decadimento da padre a figlio e questo a sua volta decade con vita media $\tau_2$ , abbiamo:

$$dN_1=-\lambda_1 N_1(t) \qquad dN_2=-\lambda N_2(t)+\lambda_1 N_1(t)$$ (16)

Inseriamo la soluzione generale per il nucleo 2 ${N_2(t)=ae^{-\lambda_1 t}+ b e^{-\lambda_2 t}}$ nell'equazione sopra e cerchiamo le costanti $a,b$ . Supponiamo che all'istante $t=0$ il numero di nuclei 1 sia $N_0$ e che non ci siano nuclei 2, $N_2(0)=0$ . In questo caso la variazione del numero di nuclei2 all'istante $t=0$ è uguale all'attività dei nuclei 1:

$$N_2(t=0)=)a+b=0 \qquad \left( \frac{dN_2}{dt}\right)_{t=0}=-a\lambda_1 -b\lambda_2 =\lambda_1 N_0$$

da cui troviamo $a,b$

$$a=\frac{N_0 \lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} \qquad b=-\frac{N_0 \lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}$$

ovvero la soluzione esatta per l'andamento temporale del numero di nuclei figlio 2:

$$N_2(t)=\frac{\lambda_1 N_0}{\lambda_1-\lambda_2}[e^{-\lambda_2 t} -e^{-\lambda_1 t}]$$ (17)

Si pongono ora due casi possibili relativi alla durata dei tempi di vita rispetto a cui sono possibili alcune approssimazioni:

Caso 1

$\lambda_1 < \lambda_2$ ( $\tau_1 > \tau_2$ )

In questo caso il nucleo2 decade più rapidamente nel nucleo che lo genera e la sua attività, nulla a $t=0$ , aumenta fino a superare l'attività del nucleo padre al tempo

$$t^{\star}=\frac{\log(\lambda_1/\lambda_2)}{(\lambda_1-\lambda_2)}$$

e poi diminuisce. Il valore $t^{\star}$ si ottiene uguagliando le attività:

$$\lambda_1 N_0 e^{-\lambda_1 t}=\frac{\lambda_2 \lambda_1 N_0}{\lambda_2-\lambda_1}(e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t})$$

Per tempi $t\gg t^{\star}$ si raggiunge una situazione di equilibrio in cui il rapporto fra le attività è approsimativamente costante.

$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{A_2 \left( t \right... ...bda _1 } \right)t} } \right] = \frac{{\lambda _2 }}{{\lambda _2 - \lambda _1 }}$$

Questa situazione è descritta come equilibrio transiente. Quando invece il nucleo figlio decade molto più velocemente del padre, $\tau_2 \ll \tau_1$ si ha che le attività sono approsimativamente uguali a $\lambda_1 N_1=\lambda_2 N_2$ . Questa situazione si definisce di equilibrio secolare.¹. L'attività del figlio 2 è dunque data da: $A_2(t)=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}e^{-\lambda_1 t}$ .

Figura: Attività dei nuclei nei decadimenti a cascata.

Caso 2

$\lambda_1 < \lambda_2$ ( $\tau_1 > \tau_2$ )

In questo caso l'attività dei nuclei figli 2 aumenta rapidamente per effetto dei decadimenti dei nuclei padre 1 e raggiunge il valore massimo al tempo

$$t^{\star}=\frac{\log(\lambda_1/\lambda_2)}{(\lambda_1-\lambda_2)}$$

A tempi $t\gg t^{\star}$ il numero di nuclei padre 1 è molto diminuito e l'attività dei nuclei figli 2 decresce esponzialmente con vita media $\tau_2$ Figura . In questo caso non si raggiunge una situazione di equilibrio tra le attività

Bisogna notare che in questa trattazione abbiamo considerato un singolo canale di decadimento. Quando sono presenti più canali di decadimento ognuno con una sua probabilità $P$ di accadere (i.e $85 \%$ decadimento$\beta^+$ , $15\%$ decadimento $\gamma$ ) si deve moltiplicare il coefficiente moltiplicativo per il nucleo figlio per la probabilità di tale decadimento, ad esempio:

$$A_2(t)=P \cdot \frac{\lambda_2 \lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} [e^{-\lambda_1 t}-e^{-\lambda_2 t}]$$ (18)

Si pone la seguente situazione:

$$\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot P >1 \quad \textrm{Attività del figlio supera quella del padre}$$

$$\frac{\lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1}\cdot P <1 \quad \textrm{Attività del figlio NON supera quella del padre}$$ (19)