Equazioni di stato all'equilibrio

Per potere correlare l'energia media a quantità direttamente osservabili è necessario cercare un'espressione per l'equazione di stato del gas descritto dalla funzione di distribuzione all'equilibrio. Questo si può fare calcolando la pressione che agisce sulle pareti del contenitore in cui il gas è racchiuso. Essa è definita come la forza media per unità di area esercitata dalle molecole su di una parete perfettamente riflettente del contenitore (figura 1.3).

Una particella con velocità $v_x$ diretta lungo l'asse $\hat{x}$ , trasmette alla parete una quantità di moto pari a $2mv_x$ . In un tempo $dt$ il numero di particelle riflesse dalla parete sarà allora dato da $f(\vec v) d\vec r d\vec v$ dove il volumetto $d\vec r = dA v_x dt$ .

Figura 1.3: Illustrazione per il calcolo della pressione sulle pareti del contenitore

La quantità di moto trasmessa è quindi $2f(\vec v)mv_x^2dAd\vec v dt$ , dividendo per $dAdt$ ottengo la pressione da integrare su tutte le velocità:

$$P=\int_{v_x>0}{2f(\vec v) m v_x^2 d\vec v}=\int{f(\vec v) m v_x^2 d\vec v}=\frac{2}{3}\int{f(\vec v)\frac{mv^2}{2}d\vec v}=\frac{2E}{3}n$$ (1.32)

Per l'equazione dei gas perfetti $PV=nk_BT$ ottengo che esiste una relazione diretta fra energia cinetica media e temperatura data da:

$$E=\frac{3}{2}k_BT$$

In termini di temperatura $T$ , di velocità media $\vec v_0$ e di densità spaziale $n$ , la funzione di distribuzione all'equilibrio in assenza di forze esterne risulta:

$$f_0(\vec v)=n \left( \frac{m}{2\pi k_BT} \right)^{3/2} \exp \left[{\frac{-m(\vec v - \vec v_0)^2}{2k_BT}} \right]$$ (1.33)

La 1.33 è la distribuzione di velocità di Maxwell Boltzmann (Figura 1.4) ossia la probabilità di trovare una molecola con velocità $\vec v$ sotto condizioni di equilibrio ^1.2.

Figura 1.4: Distribuzione di Maxwell Boltzmann.
Notare che la coda per $v \rightarrow +\infty$ non si annulla a causa del fatto che si è usata la dinamica Newtoniana nella derivazione di queste leggi. Questo è valido per temperature tali che $mc^2 \gg k_BT$

Per un gas in un contenitore fermo rispetto al riferimento, ossia con $\vec v_0 \equiv 0$ si può definire la velocità più probabile che risulta:

$$\bar v =\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}$$

La velocità quadratica media invece è definita come la radice quadrata del valor medio di $v^2$ , e vale:

$$v_{\textrm{rms}}=\sqrt{< v^2>}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$$