Espansione libera di un gas intrappolato armonicamente

Supponiamo di avere un gas classico confinato spazialmente da un potenziale armonico isotropo del tipo:

$$V(\vec r)=\frac{1}{2}m\omega^2 r^2$$

Ad un certo istante si spegne la trappola armonica ed il gas si espande seguendo l'evoluzione descritta dall'equazione di trasporto di Boltzmann, in particolare all'equilibrio si avrà

$$f_0=C\exp\left[{-\frac{1}{k_BT}\left(\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}m\omega^2 r^2\right)}\right]$$

All'istante $t>0$ pongo $V\equiv 0$ . La soluzione del termine di sinistra dell'equazione di Boltzmann

$$f(\vec r, \vec v,t)=f(\vec r- \vec vt,v)$$

esprime il fatto che la funzione di distribuzione evolve tramite i termini cinetici del moto libero senza forze esterne, ossia

$$f_0=C\exp \left[ -\frac{m}{2k_BT}(v^2+\omega^2(\vec r-\vec vt)^2) \right]$$

Sviluppando questa forma si può ottenere

$$f_0=C\exp \left[ -\frac{m}{2k_BT}\left[v^2(1+\omega^2t^2)-2\omega^2t \, (\vec r \cdot \vec v)+\omega^2 r^2\right] \right]$$

Introducendo il termine

$$\vec u =\left(\frac{\omega^2 t }{1+\omega^2 \, t^2}\right)\vec r$$

posso riscrivere l'equazione in forma di somma di quadrati all'esponente, cosìcchè la funzione di distribuzione risulti quella all'equilibrio locale:

$$f(\vec r,\vec v,t)=C\exp\left[ -\frac{m}{2k_BT}(1+\omega^2t^2)(\v... ...u)^2\right]\exp\left[ -\frac{m}{2k_BT} \frac{\omega^2r^2}{1+\omega^2t^2}\right]$$

Scritta in questo modo, $f$ è soluzione del termine di sinistra dell'equazione di Boltzmann all'equilibrio locale con una temperatura efficate $\theta(t)$ dipendente dal tempo

$$\theta(t)=\frac{k_BT}{1+\omega^2t^2}$$

In questo problema l'entropia non varia, infatti definita l'entropia $S$ come

$$S=-\frac{\mathcal{H}(t)}{Vk_B}$$

si calcola che la funzione $\mathcal{H}(t)$ resta costante:

$$\mathcal{H}(t) =\int{f \log(f) \, d\vec r \, d\vec v} = \int{f_0(r-vt,v)\log(f_0(r-vt,v))\, d\vec r\, d\vec v}$$ (2.54)

$$= \int{f_0(r^\prime,v)\log(f_0(r^\prime,v))\, d\vec r\, d\vec v} \equiv \mathcal{H}(t=0)$$ (2.55)

L'espansione libera di un gas intrappolato armonicamente non produce variazioni di entropia, è isoentropica.

Questo cessa di essere vero quando la trappola armonica non è più isotropa, ossia

$$V(x,y,z)=\frac{1}{2}m(\omega_x^2 x^2+\omega_y^2 y^2+\omega_z^2 z^2)$$

La funzione di distribuzione all'equilibrio sarà quindi diversa,

$$f_0((x,y,z),v,t)= C\exp\left[ -\frac{m}{2k_BT}\left(v^2+[\omega_x^2 x^2+\omega_y^2 y^2+\omega_z^2 z^2]\right)\right]$$

quindi l'espressione $(\vec r - \vec v t)^2$ cambierà in

$$\omega_x^2 (x-v_xt)^2+\omega_y^2 (y-v_yt)^2+\omega_z^2 (z-v_zt)^2 + \textrm{(termini non lineari in v)}$$

non è più isotropa nelle velocità. La nuova $f$ non è scrivibile in termini di funzione d'equilibrio locale e quindi non annullerà il termine collisionale dell'equazione di Boltzmann, in breve un potenziale anisotropo da luogo a fenomeni dissipativi.