Gas classico ideale nel microcanonico

Consideriamo un gas classico ideale, ossia un insieme di particelle descritto dalla Hamiltoniana:

$$H=\sum_i \frac{p_i^2}{2m}$$

A partire da questa Hamiltoniana vogliamo mostrare le procedure di calcolo nell'insieme microcanonico. Cerchiamo dapprima la quantità definita nei paragrafi precedenti

$$\Sigma(E)=\frac{1}{h^{3N}}\int_{H<E}{d^{3N}q\, d^{3N}p}$$

L'integrazione sulle coordinate può essere subito risolto fornendo $V^N$ in quanto nell'Hamiltoniana non esistono termini nelle coordinate $q_i$ . Otteniamo:

$$\Sigma(E)=\frac{V^N}{h^{3N}} \int_{\frac{p_1^2}{2m}+\ldots \frac{... ...\frac{V^N}{h^{3N}}\int_{p_1^2+\ldots p_N^2<2mE}{d\vec p_1 \, \ldots d \vec p_N}$$ (3.16)

Ques'ultimo diventa un integrale di un'ipersfera in $3N$ dimensioni di raggio $R=\sqrt{2mE}$ . In breve,

$$\Omega_N(R)=\int_{x_1^2+\ldots x_n^2<R^2}{dx_1,\ldots ,dx_n}=C_n R^n$$

dove $C_n$ è una costante che risulta valere

$$C_n = \frac{\pi^{n/2}}{(\frac{N}{2}-1)!}$$ (3.17)

$$\log C_n \approx \frac{n}{2}\log\pi - \frac{n}{2}\log {\frac{n}{2}}+\frac{n}{2}$$

con $n=3N$ . Otteniamo:

$$\Sigma(E)= \frac{V^N}{h^{3N}}C_{3N} (2mE)^{3N/2}$$ (3.18)

L'entropia di un gas ideale è:

$$S(E,V) =k_B\left[N\log(C_{3N}) + N \log{\frac{V}{h^3}} + \frac{3}{2}N\log{(2mE)} \right]$$ (3.19)

$$=k_BN\log \left[ V \left(\frac{4\pi m}{h^2} \frac{E}{V} \right)^{3/2} \right] +\frac{3}{2}Nk_B$$

Se risolviamo per $E$ in termini di $S$ e $V$ e chiamiamo la funzione risultante $U(S,V)$ energia interna otteniamo:

$$U(S,V)= \left( \frac{3h^2}{4\pi m}\right)\frac{N}{V^{2/3}}e^{(\frac{2}{3}\frac{S}{Nk_B})-1}$$ (3.20)

La temperatura microcanonica è definita come

$$\frac{1}{T}= \left ( \frac{\partial S}{\partial E} \right)_V= Nk_B \frac{\partial}{\partial E}(\log(E^{3/2}))=\frac{2}{3}\frac{U}{Nk_B}$$ (3.21)

Con la 3.22 otteniamo la legge di stato dei gas perfetti

$$E=\frac{3}{2}Nk_BT$$

Stesso risultato a partire dalla definizione di pressione $P$ :

$$P=T\frac{\partial S}{\partial V}=TNk_B \Rightarrow PV=Nk_BT$$

Questi calcoli dimostrano come i calcoli nell'insieme microcanonico siano difficili da effettuare. Andando avanti introdurremo l'insieme canonico, strettamente legato al microcanonico, dove è più agevole calcolare le osservabili fisiche.