Funzione di distribuzione

Il sistema in considerazione nella teoria cinetica è un gas diluito di N molecole in un volume V. Le condizioni di temperatura sono tali che la lunghezza d'onda di De Broglie è molto minore della distanza media fra particelle, ossia il gas è classico e non presenta comportamenti quantistici:

$$\frac{\hbar }{{\sqrt {2mk_BT} }}\left( {\frac{N}{V}} \right)^{\frac{1}{3}} \ll 1$$

La descrizione classica è valida finchè questa lunghezza d'onda è minore in genere di $10^2$ $\mathop A\limits^ \circ$ .

Non siamo interessati al moto di ogni singola particella (il gas tipicamente ne contiene un numero di $10^{23}$ ) ma piuttosto ad una funzione di distribuzione

$$f(\vec{r},\vec{v},t)$$ (1.1)

tale per cui $dN=f(\vec{r},\vec{v},t) d^3rd^3v$ è il numero di molecole che all'istante $t$ hanno una posizione nel volumetto $d^3r$ e una velocità compresa nel volumetto $d^3v$ dello spazio delle velocità. Una volta suddiviso lo spazio delle fasi in cellette di volume

$$\omega = d^3r \, d^3v$$

questa celletta deve essere abbastanza grande da considerare un numero di particelle sufficientemente elevato $dN \gg 1$ ma sufficientemente piccola per una descrizione microscopica del mondo macroscopico. Se il volume è scelto sufficientemente grande per considerare un numero di circa $10^{19}$ particelle e la densità non varia troppo in questo volume allora si possono approssimare le somme con degli integrali nello spazio delle fasi:

$$\sum {f\left( {\vec r,\vec v,t} \right)d^3 r\,d^3 v \approx \int {f\left( {\vec r,\vec v,t} \right)d^3 r\,d^3 v} }$$ (1.2)

Avendo definito la funzione di distribuzione possiamo, attraverso la condizione di normalizzazione, specificarne le caratteristiche, in particolare per N abbastanza grande:

$$\int {f\left( {\vec r,\vec v,t} \right)d^3 r\,d^3 v} = N$$

inoltre è definibile una densità spaziale $\rho (\vec{r},t)$ attraverso la funzione di distribuzione:

$$\int {f\left( {\vec r,\vec v,t} \right)\,d^3 v} = \rho \left( {\vec r,t} \right)$$ (1.3)

che in condizioni di uniformità del sistema vale esattamente $N/V$ . Parallelamente a questa definizione di densità spaziale ne esiste una analoga nello spazio delle velocità

$$\int {f\left( {\vec r,\vec v,t} \right)\,d^3 r} = \eta \left( {\vec v,t} \right)$$ (1.4)

L'obiettivo della teoria cinetica è trovare un'equazione del moto per la funzione di distribuzione $f(\vec{r}, \vec{v},t)$ per una data forma del potenziale di interazione fra le particelle. La forma della funzione di distribuzione per $t \rightarrow +\infty$ sarà la forma della funzione all'equilibrio termodinamico. Per poter ricavare questa equazione del moto supponiamo che non vi siano interazioni fra le molecole del gas ossia che la sezione d'urto $\sigma$ sia nulla: $\sigma =0$ . In questo caso di interazioni nulle fra molecole, ogni particella rappresenta un sistema chiuso e la funzione di distribuzione delle molecole obbedisce al teorema di Liouville per cui $\frac{df}{dt}=0$ . La derivata totale consiste qui in una differenziazione lungo una linea nello spazio delle fasi, determinata dalle equazioni del moto. Il teorema di Liouville si applica a funzioni di distribuzione definite nello spazio delle fasi, ad esempio di due variabili canonicamente coniugate come posizione e momento, questo però non impedisce di esprimere $f$ sotto forma di altre variabili.

Supponendo l'esistenza di una forza esterna $\vec F$ che agisce sul sistema, una particella che al tempo $t$ abbia coordinate $(\vec r, \vec v)$ nello spazio delle fasi, dopo un tempo $\delta t$ si ritroverà con coordinate $(\vec r +\vec v\delta t, \vec v +\frac{\vec F}{m}\delta t)$ . Poichè al tempo $t$ il numero di particelle nel volumetto sarà $d^3r d^3v$ indicato da $(\vec r, \vec v)$ , all'istante $t+\delta t$ sarà $d^3r' d^3v'$ indicato da $(\vec r +\vec v\delta t, \vec v +\frac{\vec F}{m}\delta t)$ . In breve, in assenza di collisioni si potrà scrivere:

$$f(\vec r, \vec v, t)d^3d^3v=f(\vec r +\vec v\delta t, \vec v +\frac{\vec F}{m}\delta t)d^3r'd^3v'$$ (1.5)

che si riduce a:

$$f(\vec r, \vec v, t)=f(\vec r +\vec v\delta t, \vec v +\frac{\vec F}{m}\delta t)$$ (1.6)

perchè i due volumetti sono equivalenti: $d^3rd^3v=d^3r'd^3v'$ se la forza esterna è dipende solo dalla posizione ossia è conservativa. La funzione di distribuzione deve evolvere nel tempo mantenendo sempre intatta l'identità 1.6.

Figura 1.1: Evoluzione temporale del volumetto nello spazio delle fasi

Se sviluppiamo al primo ordine 1.6, otteniamo il primo membro dell'equazione di Boltzmann:

$$f(\vec r +\vec v\delta t, \vec v +\frac{\vec F}{m}\delta t,t+ \de... ...al v} \frac{\vec F}{m} \delta t + \frac{\partial f}{\partial t} \delta t\right)$$ (1.7)

Semplificando e raccogliendo ottengo il termine sinistro dell'equazione di Boltzmann:

$$\frac{\partial f}{\partial t}+\vec v \frac{\partial f}{\partial \vec r}+ \frac{\vec F}{m}\frac{\partial f}{\partial \vec v}=0$$ (1.8)

Quando sono presenti collisioni, ossia la sezione d'urto $\sigma >0$ allora lo zero sarà sostituito da un termine detto collisionale ed in particolare la dimensione dei volumetti nello spazio delle fasi non sarà conservata.

$$f(\vec r +\vec v\delta t, \vec v +\frac{\vec F}{m}\delta t,t+ \de... ...f(\vec r, \vec v, t)+\left(\frac{\partial f}{\partial t}\delta t \right)_{coll}$$ (1.9)

Finchè il termine collisionale non è esplicitato, la soluzione dell'equazione non può essere ricavata, tuttavia anche specificando questo termine sono necessarie approssimazioni per una sua soluzione. Questa è la forma esplicita dell'equazione di Boltzmann che tiene conto della collisioni:

EQUAZIONE DI TRASPORTO DI BOLTZMANN

$$\frac{\partial f}{\partial t}+ \vec v \cdot \vec \nabla_r f + \fr... ...c F}{m}\cdot \vec \nabla_v f=\left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll}$$ (1.10)

dove $\vec \nabla_r$ e $\vec \nabla_v$ sono i gradienti fatti rispetto alle coordinate di posizione e velocità. Il termine collisionale può essere interpretato come una differenza fra termine di guadagno e di perdita nel volumetto dello spazio delle fasi:

$$\left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_{coll}=\bar R -R$$ (1.11)

E' possibile dare un'interpretazione fisica di $\bar R$ e $R$ , infatti:

• $R\, \delta t \, d \vec \, r \, d \vec v$ è il numero di collisioni in $\delta t$ in cui una molecola allo stato iniziale è in $d^3r d^3v$ .
• $\bar R\delta t \, d \vec r \, d \vec v$ è il numero di collisioni in $\delta t$ in cui una molecola è allo stato finale in $d^3r d^3v$ .