Teoria generale dei processi stocastici

Sia $y$ una variabile stocastica (ad esempio la velocità di una particella browniana). Si definisce $P_1(y_1,t_1)$ la densità di probabilità che $y$ abbia il valore $y_1$ all'istante $t_1$ . La quantità

$$P_1(y_1,t_1)dy_1dt_1$$

è la probabilità che $y_1\leq y \leq y_1+dy_1$ durante l'intervallo di tempo fra $t_1$ e $t_1+dt_1$ .

La quantità

$$P_2(y_1,t_1;y_2,t_2)$$

è invece la densità di probabilità che $y$ abbia il valore $y_1$ all'istante $t_1$ ed $y_2$ all'istante $t_2$ . In termini più generali si definisce come

$$P_n(y_1,t_1;y_2,t_2;\ldots y_n,t_n)$$

la densità di probabilità che $y$ abbia il valore $y_1$ a $t_1$ , $y_2$ a $t_2$ etc...

Le probabilità sopra descritte soddisfano la normalizzazione e tutte le $P_n$ sono non negative.

$$P_n \geq 0$$

$$\int{dy_1P_1(y_1,t_1)}=1$$

Vale la regola di riduzione

$$\int{P_n(y_1,t_1;\ldots y_n,t_n)dy_n}=P_{n-1}(y_1,t_1; \ldots y_{n-1},t_{n-1})$$

con la quale si ottiene la normalizzazione di tutte le $P_n$ , infatti

$$\int{dy_1dy_2P_2(y_1,t_1;y_2,t_2)}=\int{dy_1 P_1(y_1,t_1)}=1$$

Definiamo i momenti di ordine $n$ -esimo della variabile stocastica:

$$\left< y_1(t_1)\ldots y_n(t_n)\right>=\int{y_1 \ldots y_n P_n(y_1,t_1;\ldots y_n,t_n)dy_1\ldots dy_n}$$

In realtà, generalmente, ci interessano solo i momenti del primo e del secondo ordine.

Il momento primo è il valore medio della variabile $y$

$$\left<y_1(t_1) \right> = \int{y_1P_1(y_1,t_1)dy_1}$$

Il momento secondo è la funzione di correlazione

$$\left<y_1(t_1)y_2(t_2) \right> = \int{dy_1}\int{y_1y_2 P_2(y_1,t_1;y_2,t_2)dy_2}$$