Master equation

La master equation è un'equazione per la variazione nel tempo di $P_1(y,t)$ . Vale che:

$$P_1(y,t+dt)=\int{P_1(y',t)P_{11}(y',t\vert y,t+dt)dy'}$$

Per la derivata rispetto al tempo si ottiene

$$\frac{\partial P_1(y,t)}{\partial t} =\frac{1}{dt}\left( P_1(y,t+dt)-P_1(y,t) \right)$$

$$=\frac{1}{dt}\int{P_1(y',t)\left( P_{11}(y',t\vert y,t+dt) -\delta(y-y') \right)dy'}$$

Per un intervallo di tempo $dt \rightarrow 0$ possiamo scrivere

$$P_{11}(y',t\vert y,t+dt)\approx W_t(y',y)dt+\delta(y'-y)\left( 1-dt \int{dy'' W_t(y',y'')}\right)$$

dove $W_t(y',y)dt$ è la probabilità che il sistema compia la transizione $y'\rightarrow y$ nell'intervallo di tempo $t\rightarrow t+dt$ .

La quantità $1-dt\int{dy''W_t(y'\vert y'')}$ è la probabilità che non ci siano transizioni nell'intervallo di tempo $t\rightarrow t+dt$ .

Notiamo che è soddisfatta la normalizzazione:

$$\int{dy P_{11}(y',t\vert y,t+dt)}=dt\int{W_t(y',y)dy}+1-dt\int{dy'' W_t(y',y'')}=1$$

Si ottiene la master equation:

$$\frac{\partial P_1(y,t)}{\partial t}=\int{\left( P_1(y',t)W_t(y'\vert y) -P_1(y,t)W_t(y,y')\right)dy'}$$ (4.17)

Il significato di questa equazione è il seguente:

La variazione temporale di $P_1(y,t)$ è dovuta a transizioni allo stato $y$ da tutti i possibili stati $y'$ (termine $P_1(y',t)W_t(y',y)$ ) che contribuiscono con segno positivo alla variazione di $P_1(y,t)$ e a transizioni dallo stato $y$ a tutti i possibili stati $y'$ (termine $P_1(y,t)W_t(y\vert y')$ ) che contribuiscono con segno negativo alla variazione di $P_1(y,t)$ .