Proprietà della master equation

Immaginiamo che $P_1(\bar y,t=0)=0$ per un certo $\bar y$ . Scriviamo la master equation per $\bar y,t=0$ :

$$\dot{P}_1(\bar y,t=0)=\int{P_1(y',t=0)W_{t\rightarrow 0}(y',\bar y)dy'}$$

Abbiamo solo il contributo positivo perchè non c'è probabilità di transizione da $\bar y$ ad altri valori. Poichè la probabilità è definita non negativa, $P_1(\bar y,t)\geq 0$ deve essere $\dot{P}_1\geq 0$ . Per il fatto che possiamo scegliere $\bar y$ arbitrariamente necessariamente avremo che la probabilità di transizione da $y'$ a $y$ è sempre non negativa:

$$W_{t}(y', y)\geq 0$$

Per processi stazionari la $P_1(y,t)=P_1(y)$ quindi

$$\dot{P}_1(y)=0 \qquad W_t(y',y)=W(y',y)$$

La master equation per processi stazionari si scrive allora:

$$\int{P_1(y')W(y',y)-P_1(y)W(y,y')dy'}=0$$ (4.18)

Dato che sia $P$ che $W$ sono definite positive, l'integrando dev'essere nullo. Questa regola va sotto il nome di legge del bilancio dettagliato

$$P_1(y')W(y',y)=P_1(y)W(y,y')$$ (4.19)

Questa legge vale all'equilibrio e fornisce una condizione sul flusso della variabile stocastica $y$ .

Supponiamo che la variabile stocastica $y$ possa solo assumere valori discreti. La master equation per sistemi discreti si può scrivere come:

$$\dot{P}_1(y_n,t)=\sum_m{\left[ P_1(y_m,t)W_t(y_m\vert y_n)-P_(y_n,t)W_t(y_n\vert y_m)\right]}$$ (4.20)