Dinamica di una popolazione

La dinamica di una popolazione è un processo stazionario. Usiamo la master equation per sistemi discreti e consideriamo che il numero di individui sia la variabile stocastica: $y_n \equiv n$ . Definiamo la probabilità che un elemento nasca nell'intervallo $dt$ come:

$$Bdt$$

mentre la probabilità che esso muoia nel tempo $dt$ come:

$$D dt$$

La probabilità che la popolazione passi da $n$ individui a $n+1$ nel tempo $dt$ è:

$$W_t(n\vert n+1)dt=Bndt$$

Analogamente per la probabilità che la popolazione diminuisca di un individuo nell'unità di tempo $dt$ :

$$W_t(n\vert n-1)dt=Dndt$$

e per la probabilità che la popolazione rimanga costante nel tempo $dt$ :

$$1-ndt(D+B)$$

Abbiamo assunto che il tempo $dt$ sia così breve che solo un processo di nascita e di morte può avere luogo, ossia che:

$$W_t(n\vert m)=0 \qquad \vert m-n\vert\geq 2$$

La master equation diventa allora

$$\dot{P}_1(n,t)=P_1(n-1,t)B(n-1)+P_1(n+1,t)D(n+1)-P_1(n,t)(B+D)n$$ (4.21)

All'equilibrio si ha bilancio dettagliato:

$$P_1(n-1,t\rightarrow \infty)B(n-1)=P_1(n,t\rightarrow \infty)Dn$$

Cerchiamo una $P_1(n,t) \not{\propto} t$ supponendo che $P_1(n=0)=0$ e che $P_1(n=1)=\alpha$ .

Iterativamente si ha:

$$P_1(n=2) =\frac{B}{D}\frac{1}{2}\alpha$$

$$P_1(n=3)=\frac{B}{D}\frac{2}{3}\frac{B}{D}\frac{1}{2}\alpha$$

$$P_1(n=4)=\left( \frac{B}{D}\right)^3 \frac{\alpha}{4}$$

Induttivamente si ha:

$$P_1(n)=\left( \frac{B}{D} \right)^{n-1}\frac{\alpha}{n}$$ (4.22)

Il parametro $\alpha$ è fissato dalla normalizzazione, infatti:

$$1=\sum_{n\geq 1}\frac{\alpha}{n}\left( \frac{B}{D}\right)^{n-1}=\... ...sum_{n\geq 1}\frac{\gamma^n}{n}=\frac{\alpha}{\gamma}\log{\frac{1}{1-\gamma}}$$

dove abbiamo definito il nuovo parametro $\gamma=B/D$ rapporto fra natalità e mortalità. In questo modo otteniamo la costante $\alpha$ :

$$\alpha=\frac{\gamma}{\log{(1/(1-\gamma))}}$$

da cui otteniamo definitivamente la $P_1$ :

$$P_1(n)=\frac{1}{\log{(1/(1-\gamma))}}\frac{\gamma^n}{n}$$ (4.23)

Possiamo calcolare il numero medio di individui $\bar n$ presenti nella popolazione:

$$\bar n=\frac{1}{\log{(1/(1-\gamma))}}\sum_{n \geq 1}\gamma^n= \frac{1}{\log{(1/(1-\gamma))}}\frac{\gamma}{1-\gamma}$$

Notiamo che $\bar n\rightarrow +\infty$ quando il coefficiente $\gamma >1$ ossia quando $B>D$ . Questa serie converge solo quando $\gamma <1$ : perchè la popolazione non esploda, il rate di nascita deve essere minore del rate di morte.