Equazione di Fokker-Planck per la diffusione

Identifichiamo con la variabile stocastica $y$ la posizione della particella $y\equiv x$ . Assumiamo che

$$D_1(y,t)=0 \qquad D_2(y,t)=D$$

dove $D$ è detta costante di diffusione $[L^2/t]$ .

Otteniamo in questo modo l'equazione di diffusione:

$$\frac{\partial P_1(x,t)}{\partial t}=D\frac{\partial ^2 P_1(x,t)}{\partial x^2}$$ (4.27)

E' possibile una derivazione diversa dell'equazione di diffusione. Consideriamo un random walk unidimensionale, immaginiamo un processo in base al quale per ogni passo di durata $\Delta t$ la particella si muove di $\Delta x_i=\pm \sqrt{2D\Delta t}$ con uguale probabilità in direzione positiva o negativa. Vale perciò $\left< \Delta x_i \right>=0$ . Lo spostamento totale è:

$$x=\sum_{i=1}^N\Delta x_i$$

con $n$ numero di passi. Per lo spostamento totale vale anche ovviamente che $\left< x \right>=0$ . Gli spostamenti in passi diversi sono indipendenti cioè:

$$\left< \Delta x_i \Delta x_j \right>=2D\Delta t \delta_{ij}$$

con $t=n \Delta t$ . Nell'equazione di Fokker-Planck

$$D_1(n,t)=\frac{\left< \Delta x\right>_{\Delta t}}{\Delta t}$$

$$D_2(n,t)=\frac{1}{2}\frac{\left< \Delta x^2\right>}{\Delta t}=\frac{1}{2}\frac{2D\Delta t}{\Delta t}=D$$

Cerchiamo la soluzione dell'equazione di diffusione con la condizione che la particella si trovi in $x_0$ per $t=0$

$$P_1(x,t=0)=\delta(x-x_0)$$

Passiamo nello spazio di Fourier

$$P_1(k,t)=\int{ e^{ikx}P_1(x,t)\,dk}$$

$$P_1(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int{ e^{-ikx}P_1(k,t)\,dk}$$

La condizione iniziale è

$$P_1(k,t=0)=\int{e^{ikx}\delta(x-x_0)\, dk}=e^{ikx_0}$$

inoltre

$$\frac{\partial }{\partial t}P_1(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int{e^{-ikx}\frac{\partial }{\partial t}P_1(k,t)\, dk}$$

$$D\frac{\partial^2}{\partial x^2}P_1(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int{e^{-ikx}(-Dk^2P_1(k,t))dk}$$

possiamo quindi riscrivere l'equazione di Fokker-Planck

$$\dot{P}_1(k,t)=-Dk^2P_1(k,t)$$ (4.28)

quindi la soluzione nello spazio $k$ è

$$P_1(k,t)=e^{ikx_0}e^{-Dk^2t}$$

Torniamo ora nello spazio $x$ con l'antitrasformata:

$$P_1(x,t) =\frac{1}{2\pi}\int{e^{-ikx}e^{ikx_0}e^{-Dk^2t}\, dk}$$ (4.29)

$$=\frac{1}{2\pi}\int{\exp\left[-(\sqrt{Dt}k+i\frac{(x-x_0)^2}{2\sqrt{Dt}})^2\right]\exp\left[ -\frac{(x-x_0)^2}{4Dt}\right]}$$

$$=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\left[-\frac{(x-x_0)^2}{4Dt} \right]$$

Notiamo le seguenti proprietà:

1. Posizione iniziale
   $$\lim_{t\rightarrow 0}P_1(x,t)=\delta(x-x_0)$$

2. Normalizzazione
   $$\int{P_1(x,t)dx}=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\sqrt{4\pi Dt}=1$$

3. Valor medio della posizione
   $$\int{xP_1(x,t)dx}=0$$

4. Momento del second'ordine

   $$\int{dx}\int{x x' P_2(x,t;x',t)dx\,dx'}=\int{dx}\int{x x' P_1(x,t)P_{11}(x,t;x',t)dx\, dx'}$$

   $$=\int{x^2 P_1(x,t)dx}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int{(\sqrt{4Dt}x'+x_0)^2e^{-x'^2}}$$

   $$=x_0^2+2Dt$$

   
   

Ora che abbiamo trovato l'equazione di Fokker Planck per il caso diffusivo cerchiamo quella per il moto browniano.