Equazione di Fokker Planck per il moto browniano

La variabile stocastica è la velocità della particella $y\equiv v$ . Poniamo

$$D_1(v,t)=-\gamma v$$

$$D_2(v,t)=\frac{q}{2\gamma}=\gamma \frac{k_BT}{m}$$

infatti si ha dall'equazione del moto che abbiamo visto precedentemente,

$$\dot{v}=-\gamma v + \Gamma$$

Prendendo il valor medio degli spostamenti $\Delta v$ troviamo

$$D_1=\frac{\left< \Delta v\right>_{\Delta t}}{\Delta t}=-\gamma v$$

mentre $\Delta v^2=\gamma^2 v^2 \Delta t^2-2\gamma v \Gamma \Delta t^2 +\Gamma^2 \Delta t^2$ quindi troviamo anche il $D_2$

$$\frac{\left< \Delta v^2\right>_{\Delta t}}{\Delta t} =\gamma^2v^2 \Delta t+\left< \Gamma^2 \right>\Delta t$$ (4.30)

$$= \gamma^2v^2 \Delta t + \int_0^{\Delta t}{\left< \Gamma^2 \right>\, dt}$$

$$= \gamma^2v^2 \Delta t + \int_0^{\Delta t}{q\delta(t)dt}=\gamma^2v^2\Delta t+q$$

Nel limite che $\Delta t \rightarrow 0$ troviamo che

$$D_2=\frac{q}{2}$$

Otteniamo perciò la seguente equazione di Fokker-Planck:

$$\frac{\partial}{\partial t}P_1(v,t)=\gamma \frac{\partial }{\part... ...[ vP_1(v,t)\right]+\gamma \frac{k_BT}{m}\frac{\partial^2P_1(v,t)}{\partial v^2}$$ (4.31)

Cerchiamo la soluzione stazionaria

$$\frac{\partial}{\partial t}P_1(v,t)=0$$

quindi risolviamo l'equazione

$$\gamma v P_1(v)+\gamma\frac{k_BT}{m}\frac{\partial}{\partial v}P_1(v)=\textrm{costante}$$

ovvero

$$\frac{\partial }{\partial v}P_1(v)=-\frac{mv}{k_BT}P_1(v)$$

La soluzione dell'equazione di Fokker-Planck stazionaria per il moto browniano è

$$P_1(v)=A e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}$$ (4.32)

La costante $A$ è determinata dalla normalizzazione, infatti

$$1=\int_{-\infty}^{+\infty}{P_1(v)dv}=A\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}\sqrt{\pi}$$

Scopriamo infine che la soluzione è proprio la distribuzione di Maxwell all'equilibrio termodinamico:

$$P_1(v)=\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}$$

che ha valor medio nullo e momento del secondo ordine in accordo con il teorema del viriale, cioè:

$$\left< v^2 \right>=\frac{k_BT}{m}$$