Proprietà di simmetria

La sezione d'urto totale è invariante per:

Time reversal

ossia nella nostra notazione

$$\sigma(v_1, v_2,v_1^\prime, v_2^\prime)=\sigma(-v_1, -v_2,-v_1^\prime,-v_2^\prime)$$

La sezione d'urto è la stessa quando si inverte il tempo.

Rotoriflessione

$$\sigma(v_1, v_2,v_1^\prime, v_2^\prime)=\sigma(\mathcal{R}v_1, \mathcal{R}v_2,\mathcal{R}v_1^\prime,\mathcal{R}v_2^\prime)$$

dove $\mathcal{R}$ è una matrice $3 \times 3$ che descrive i processi di rotoriflessione.

Inversione

La sezione d'urto è la stessa se il processo viene invertito:

$$\sigma(v_1, v_2,v_1^\prime, v_2^\prime)=\sigma(v_1^\prime,v_2^\prime,v_1,v_2)$$

In genere rotture di invarianza esistono quando sono presenti gradi di libertà interni.

Si vuole ora derivare una forma esplicita per i termini $\bar R$ e $R$ partendo dall'ipotesi che il gas sia diluito cosìcchè avvengano solo le collisioni binarie appena studiate. Consideriamo una particella in $(\vec r, \vec v_1)$ , nello stesso volume $d^3r$ sono presenti altre particelle però con velocità in genere diverse $\vec v_2 \neq \vec v_1$ . Il flusso di particelle in questo volume sarà:

$$I=\frac{\textrm{n° di particelle}}{dtdA}=\frac{f(r,v_2)d\vec v_2 d\vec r}{dtdA}$$

dove $dA$ rappresenta il volumetto $dA=d\vec r d\vec v_2$ . Se $dL$ rappresenta la distanza per cui le particelle $2$ passano per il volumetto, allora

$$d\vec r=dAdL=dAdt \left\vert v_2-v_1 \right\vert$$

quindi il flusso incidente $I$ può essere scritto come

$$I=\frac{f(v_2)dv_2dAdt\left\vert v_2-v_1 \right\vert}{dAdt}=f(\vec v_2)d\vec v_2 \left\vert v_2-v_1 \right\vert$$ (1.13)

La quantità $I \sigma(\Omega) d \Omega$ rappresenta in termini di particelle il numero di collisioni che avvengono nel volumetto $d \vec v_2$ ossia le particelle 1 che in seguito all'urto con 2 abbandonano la celletta. Il risultato è che il numero di particelle che lasciano il volume $d \vec r d\vec v_1$ nell'unità di tempo è dato dall'integrale su tutte le possibili $\vec v_2$ :

$$d\vec r d\vec v_1 \iint{f(\vec v_1)f(\vec v_2)\left\vert\vec v_2 - \vec v_1 \right\vert \sigma(\Omega) d \vec v_2 d \Omega}$$ (1.14)

L'equazione 1.14 rappresenta il termine $R$ di perdita dovuto alle collisioni dell'equazione di Boltzmann ,

$$R=\iint{f(\vec r,\vec v_1,t)f(\vec r, \vec v_2,t)\left\vert\vec v_2 - \vec v_1 \right\vert \sigma(\vec v_1,\vec v_2\Omega)} d \vec v_2 d \Omega$$ (1.15)

analogamente si può fare il termine di guadagno $\bar R$ :

$$\bar R=\iint{f(\vec r,\vec v_1^\prime,t)f(\vec r, \vec v_2^\prime... ...ert \sigma(\vec v_1^\prime,\vec v_2^\prime ,\Omega)} d \vec v_2^\prime d \Omega$$ (1.16)

Notando che $\vert\vec v_1^\prime-\vec v_2^\prime\vert=\vert\vec v_2-\vec v_1\vert$ si può incorporare il secondo membro $\bar R-R$ nell'equazione di Boltzmann ,

$$\bar R-R= \iint{\sigma \vert\vec v_2-\vec v_1\vert\left( f(v_1^\prime)f(v_2^\prime)-f(v_1)f(v_2)\right)}d \vec v_2 d \Omega$$ (1.17)

che quindi diventa definitivamente in maniera estesa:

$$\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \vec v_1 \cdot \vec \nabla _r... ...ght) - f\left( {v_1 } \right)f\left( {v_2 } \right)} \right]d\vec v_2 d\Omega }$$ (1.18)

In questa equazione integrodifferenziale non lineare l'incognita è la funzione di distribuzione $f$ . Nel ricavare questa legge abbiamo fatto l'ipotesi di caos molecolare sul termine di destra ossia abbiamo assunto che i momenti delle due particelle nel volume $d \vec r$ siano scorrelati cosìcchè la probabilità di trovarle insieme nello stesso punto è semplicemente il prodotto delle funzioni di distribuzione:

$$F(\vec r,\vec v_1,\vec v_2,t)\approx f(\vec r,\vec v_1,t)f(\vec r,\vec v_2,t)$$

A questo punto l'assunzione di caos molecolare non è giustificata ma è necessaria per poter procedere con il nostro ragionamento in quanto ci permette di rendere l'equazione chiusa a discapito però della violazione delle leggi della meccanica. Grazie a questa approssimazione si potrà comprendere come l'equazione di Boltzmann tenga conto dell'irreversibilità dei fenomeni macroscopici.